Untukmu Sahabat

Nyanyian Sahabat

persahabatan adalah hidup
ia mengalir di darahku
bergetar di nadiku
berirama dengan tiap detak jantung

persahabatan adalah kokoh
setegar batu karang
seperti tembok cina
meski raga tumbang
ia akan selalu tegak dalam dada yang memendam langit

nyanyian ini untukmu kawan

untuk setiap gelas yang tak sempat kau teguk
untuk kebahagiaan yang belum lama kau rasakan
dari luka yang panjang

nyanyian ini untukmu kawan

untuk setiap langkah yang kau jejakkan
pada jalan-jalan takdir yang menggurat di telapak kaki
untuk kebersamaan kita di detik terakhir
dan untuk semua kebisingan ini

persahabatan adalah nyanyian
ia mengaun dalam setiap desah nafasku


Gen
Pangandaran, Januari 2010

Itu tadi puisi yang saya buat saat tahun baru kemarin. Bersama seorang sahabat yang jauh-jauh datang dari Bandung, Ryan Syahputera.

Nah, kalau yang kedua ini puisinya Kahlil Gibran yang bercerita tentang persahabatan.


Persahabatan - Kahlil Gibran

Dan jika berkata,
berkatalah kepada aku tentang kebenaran persahabatan?..
Sahabat adalah kebutuhan jiwa, yang mesti terpenuhi.
Dialah ladang hati, yang kau taburi dengan kasih dan kau panen dengan penuh rasa terima kasih.

Dan dia pulalah naungan dan pendianganmu.
Karena kau menghampirinya saat hati lapa dan mencarinya saat jiwa butuh kedamaian.
Bila dia bicara, mengungkapkan pikirannya,
kau tiada takut membisikkan kata “tidak” di kalbumu sendiri,
pun tiada kau menyembunyikan kata “ya”.

Dan bilamana ia diam, hatimu tiada ‘kan henti mencoba merangkum bahasa hatinya;
karena tanpa ungkapan kata,
dalam rangkuman persahabatan, segala pikiran, hasrat, dan keinginan terlahirkan bersama dengan sukacita yang utuh, pun tiada terkirakan.

Di kala berpisah dengan sahabat, janganlah berduka cita;
Karena yang paling kaukasihi dalam dirinya,
mungkin lebih cemerlang dalam ketiadaannya,
bagai sebuah gunung bagi seorang pendaki,
nampak lebih agung daripada tanah ngarai dataran.

Dan tiada maksud lain dari persahabatan kecuali saling memperkaya ruh kejiwaan.
Karena kasih yang masih menyisakan pamrih,
di luar jangkauan misterinya, bukanlah kasih, tetapi sebuah jala yang ditebarkan:
hanya menangkap yang tiada diharapkan.

Dan persembahkanlah yang terindah bagi sahabatmu.
Jika dia harus tahu musim surutmu,
biarlah dia mengenal pula musim pasangmu.
Gerangan apa sahabat itu hingga kau senantiasa mencarinya,
untuk sekadar bersama dalam membunuh waktu?
Carilah ia untuk bersama menghidupkan sang waktu!
Karena dialah yang bisa mengisi kekuranganmu, bukan mengisi kekosonganmu.
Dan dalam manisnya persahabatan, biarkanlah ada tawa ria berbagi kebahagiaan.
Karena dalam titik-titik kecil embun pagi, hati manusia menemukan fajar jati dan gairah segar kehidupan. Baca Selanjutnya...

Persamaan lingkaran

A Defenisi
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.
Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.
Beberapa formula menentukan jarak
1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh
2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh

B Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari:

Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4

b. Pusat di 0 (0,0) dan r =

C. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.

Contoh:
1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut ini
Pusat (4, 3) dan jari-jari=6
Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36
Persamaan lingkaran
(x-4)2+(y-3)2 = 36
2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini
Pusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)
Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7)
Persamaan lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25
Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2
Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 dilakukan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut:
1. P (c, d ) didalam lingkaran L

2. P (c, d ) pada lingkaran L

3. P (c, d ) diluar lingkaran L

Contoh 01 :
Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut.
a. P(1, 1) dan lingkaran
Jawaban;
P(1, 1) dan
Jadi titik P (1, 1) terlatak
Contoh 02:
Tentukan batas-batas nilai a agar
a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka

D. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran
a.

b.

Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3
Jawaban:

Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0

2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran

1) T(p, q) didalam lingkaran

2) T(p, q) pada lingakaran L

3) T(p, q) diluas lingkaran

Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaran
Jawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K – 3.2 – 10 > 0
= K2 + 4 K – 12 > 0
= ( k + 6 ) ( K – 2 ) > 0
= k < -6 atau K > 2
3. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari r
i. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0
ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan - Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r – AP - Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaran iii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan
- Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP – r
- Jarak terjauh = AC = =
4. 2 Kedudukan garis terhadap lingkaran
Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 ac
i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan
ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran
iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2 Jawaban: Hasil subsitusi 10x2 + 13 x +3 = 0 Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3 = 169 – 120 = 49 > 0
Kesimpulan:
Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan.

4.3 Persamaan garis singgung lingkaran
(1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L
a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
X1X + Y1Y= r2
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2)
Jawaban:
Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0
b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r
(x1 - a) (x - a) + (y1-b) ( y - b) = r2
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)
Jawaban: Persamaan garis singgung
( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25
-4 ( x - 1) -3 (y - 4) -25 = 0
-4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0
-4x – 3 y – 9 = 0
4x + 3y + 9 = 0
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0
c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0

B. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)
i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula
ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).
Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh

C. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
Persamaan lingkaran
1) X2 + y2 = r2
2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0
Persamaan garis polar
1. x1 x + y1 y = r2
2. (x1 - a) (x - a) + (y1-b) ( y - b) = r2
3.

4. 4. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)

MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikut
i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya
ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya
iii. L2 didalam L1 = syaratnya
iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+
Jawab:
Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+

+3

atau

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4)
Jawab:
Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16
r2 = 20
3. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut.
a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)
Jawaban:
PB = 4PA PB2 =16PA2
(0 – x)2 + (16 – y)2 = 16

4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan
Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40
(-1)2 + 62 = 3 < 40
5. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini.
a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9
b. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 24
Jawaban:
a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3
b. Pusat B (-4, -5) dan r = =
6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1)
Jawaban:

7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
Jawaban:
P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
2+3=12 2 =12-3
2 =9
2 =32
= ±3 jadi a = 3 – 4 = -1 dan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, -1)

Persamaan lingkaran

9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran
Jawaban:
Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti:
Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= n2 – 13 n + 30 = 0
= (n – 10) (n – 3) = 0
= n = 10 atau n = 3
10. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran
Jawaban:
Hasil subsitusi:
x2 + 2 x - 15 = 0
= (x – 5) (x – 3) = 0
= x1 = -5 atau x2 = 3
Penemuan nilai y
X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10
X2 = 3; Y = 2 (3) = 6
Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1)
Jawaban:
Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung
Baca Selanjutnya...